Математический редактор MathCAD
12.3.2. Жесткие краевые задачи
Один из случаев, когда применение разностных схем может быть очень полезным,
связан с решением жестких краевых задач (подробнее о жестких ОДУ читайте в гл.
11). В частности, рассматриваемая задача о встречных световых пучках становится
жесткой при увеличении коэффициента ослабления а(х) в несколько десятков раз.
Например, при попытке решить ее с а (х) :=100 с помощью листинга 12.2 вместо
ответа выдается сообщение об ошибке "Can't converge to a solution. Encountered
too many integration steps" (He сходится к решению. Слишком много шагов
интегрирования). Это и неудивительно, поскольку жесткие системы характерны тем,
что требуют исключительно малого значения шага в стандартных алгоритмах.
Для жестких задач неприменимы и явные разностные схемы, о которых рассказывалось в предыдущем разделе (см. разд. 12.3.1). Результат расчетов по программе листинга 12.6, например с а(х):=20 (рис. 12.9), дает характерную для неустойчивых разностных схем "разболтку" — колебания нарастающей амплитуды, не имеющие ничего общего с реальным решением.
Рис. 12.9. Неверное решение жесткой краевой задачи по неустойчивой явной разностной схеме
Выходом из положения будет использование неявных разностных схем. Применительно к нашей задаче достаточно заменить правые части уравнений (1) значениями не на левой, а на правой границе каждого шага.
Граничные условия, конечно, можно оставить в том же виде (2). Поскольку мы имеем дело с линейными дифференциальными уравнениями, то и схему (4) легко будет записать в виде матричного равенства (3), перегруппировывая соответствующим образом выражение (4) и приводя подобные слагаемые. Разумеется, полученная матрица А будет иной, нежели матрица А для явной схемы (1). Поэтому и решение (реализация неявной схемы) может отличаться от изображенного на рис. 12.9 результата расчетов по явной схеме. Программа, составленная для решения системы (4), приведена в листинге 12.7.
Листинг 12.7. Реализация неявной разностной схемы для жесткой краевой задачи
Не будем специально останавливаться на обсуждении листинга 12.7, поскольку он почти в точности повторяет предыдущий листинг. Отличие заключается лишь в формировании матрицы А другим способом, согласно неявной схеме. Решение, показанное на рис. 12.10, демонстрирует, что произошло "небольшое чудо": "разболтка" исчезла, а распределение интенсив-ностей стало физически предсказуемым. Обратите внимание, что (из-за взятого нами слишком большого коэффициента ослабления излучения) отраженный пучок света имеет очень маленькую интенсивность, и ее пришлось построить на графике с увеличением в тысячу раз.
Рис. 12.10. Решение краевой задачи разностным методом (листинг 12.7)
