Пример. Бинарное отношение равенства чисел "=" - рефлексивное (так как x=x), симметричное (так как x=y => y=x), транзитивное (так как x=>y, y=>z => x=>z). Бинарное отношение "иметь общий делитель" - рефлексивное, симметричное, транзитивное (проверить). Бинарное отношение вложенности множеств "
Частично упорядоченной по отношению r системой Х называется система, для которой (т.е. для любых элементов которой) задано отношение r(Х), являющееся транзитивным, несимметричным, рефлексивным.
Упорядоченная по отношению r(Х) система - система Х, такая, что
Система с заданным на ней (на определяющем ее множестве элементов) отношением частичного упорядочивания называется системой с порядком, а система с заданным отношением упорядочивания - системой с полным порядком.
Пример. Пусть N - множество натуральных чисел. Отношение r(x,y): "x кратно y" определенное на N, как легко проверить, является отношением частичного порядка. Отношение r(x,y): "x
Теперь можно дать и формализованное определение понятия структуры.
Структурой, определенной над множеством (или на множестве) Х называется некоторое отношение над Х типа упорядочивания. Более формальное, математическое определение: структура (решетка) - частично упорядоченное множество X, для которого любое двухэлементное подмножество {х,у} из Х имеет наибольший или наименьший элемент (супремум или инфинум).
Таким образом, систему можно понимать как целостный комплекс (кортеж) объектов S = <A, R>, А = {а}, R = {r), где r - отношение над А, A - произвольное множество элементов.